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三角関数

• 三角関数

指数・対数

• 指数・対数

場合の数と確率

• 二項定理
• 順列とトランプの並び順

基本概念

• 集合とは

濃度

• 可算集合の濃度
• 連続体の濃度：対角線論法と連続体仮説
• 部分集合とべき集合
• 順序数と順序集合

パラドックスと公理的集合論の導入

• Russelのパラドックス

命題論理

• 命題と論証

ベクトルの基礎

• ベクトルの基礎
• ベクトル微分演算子
• ベクトル場の発散とGaussの定理
• ベクトル場の回転とStokesの定理

ベクトル空間

• ベクトル空間とは
• 線形変換
• 基底の取り換え
• Einsteinの規約
• 双対空間と反変ベクトル・共変ベクトル
• 双一次形式
• テンソル

固有値問題

• 固有値と固有方程式
• 行列の対角化
• 固有空間と固有空間分解

微分積分の基礎

• 微分の基礎
• 積分の基礎

多変数関数の微分積分

• 偏微分
• 線積分
• 面積分・体積分

距離空間

• Euclid空間
• 距離空間と位相
• 内部、境界、閉包
• 距離空間の間の連続写像
• 実数の連続性
• Cauchy列と完備性

位相空間

• 距離空間から位相空間一般へ
• 分離条件とHausdorff空間
• コンパクト空間
• 同相写像と同相な位相空間

基礎

• 複素数の基礎
• Eulerの公式
• 複素関数の微分可能性とCauchy–Riemann方程式

多様体の基礎

• 多様体とは
• 立体射影
• 接ベクトルと接空間
• 接バンドルとベクトル場および積分曲線
• ベクトル場のフロー
• Lie微分I：関数とベクトル場

Lie群

• Lie群と不変ベクトル場
• Lie群のLie代数

基本概念

• 群とは
• 一般線形群
• 群の表現

Lie群とLie代数の基礎

• 行列のノルムと指数関数
• Lie代数の表現：随伴表現とKilling形式
• Cartan部分代数とルート
• ルート空間分解とCartan-Weyl基底
• 単純ルートとDynkin図
• ルートの性質
• ウェイト
• 最高ウェイトとウェイトの基本系
• $SU(2)$のLie代数と既約表現
• スピノル：$SO(3)$と$SU(2)$の対応