内容
ベクトル場の発散とGaussの発散定理
Dr. SSS
2018/11/06 - 15:12:44
3211
線形代数とベクトル解析
はじめに
ここでは，ベクトル場の発散と，発散の体積積分を面積分と結びつけるGaussの発散定理についての解説を行う。
keywords: ベクトル解析, Carl Friedrich Gauss
導出
体積
\begin{align}
\Delta V=\Delta x\Delta y\Delta z
\end{align}
の微小な直方体をベクトル場に置き，各面$dS$を通るベクトル$\bm{A}\left(x,y,z\right)$の流れ，流束（フラックス）の総量を求める。 単位ベクトル$\bm{n}$を平面に垂直に立てる（これを法線ベクトルと呼ぶ）と，この方向への流束は
\begin{align}
\bm{A}\cdot\bm{n}dS=AdS\cos{\theta}
\end{align}
と書ける。$\theta$はベクトルと法線のなす角度である。 直方体の中心の座標を$\left(x,y,z\right)$とすると，$x$軸に垂直な2つ面からの寄与の和は，対になる面同士で法線が反対方向を向いていることに注意すると
\begin{align}
\notag
\int_{S_1+S_2}^{\ }\bm{A}\cdot\bm{n}dS&=\left[A_x\left(x+\frac{\Delta x}{2},y,z\right)-A_x\left(x-\frac{\Delta x}{2},y,z\right)\right]\Delta y\Delta z \\
&=\left( \frac{\partial A_x}{\partial x}\Delta x \right) \Delta y \Delta z \\ \notag
&=\frac{\partial A_x}{\partial x}\Delta V
\end{align}
となる（図1）。
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図1：微小立方体から出てくる正味の流束の$x$成分 |
残りの2対の面でも同じ議論が出来るため，微小体積から湧き出す（値が負なら入り込む）ベクトルの流束を表す式として
\begin{align}
\notag
\int_{S}^{\ }{\bm{A}\cdot\bm{n}dS}
&=\sum_{i=1}^{6}\int_{S_i}^{\ }{\bm{A}\cdot\bm{n}dS}=\left(\frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z}\right)\Delta V \\
&=\left(\nabla\cdot\bm{A}\right)\Delta V
\end{align}
が成り立つ。ここで
\begin{align}
\left(\nabla\cdot\bm{A}\right)=\left(\frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z}\right)
\end{align}
をベクトル$\bm{A}$の発散（ダイバージェンス）と呼ぶ。これらの微小な直方体の体積を無限小にとり加え合わせることで，任意の3次元領域での体積積分を近似できる。その際，隣り合う直方体同士は面を共有し積分が打ち消しあうため，結局，表面からの寄与だけが残る。
従って，改めて任意の領域の体積を$V$，表面を$S$とすれば
\begin{align}
\int_{S}^{\ }{\bm{A}\cdot\bm{n}dS}=\int_{V}\left(\nabla\cdot\bm{A}\right)dV
\end{align}
が成り立つ。これをGaussの発散定理と呼ぶ。