単純ルートとDynkin図

Lie代数は構造定数によってその基本的な構造が決定されるが，Cartan-Weyl基底を用いた形式では，その役割を果たすのがルートである。 そしてまた，負ルートは，単に正ルートの符号を変えたものであるから，結局のところ，適当な正ルートの集まりによって半単純Lie代数の構造が定められてしまう。 ここでは，そうした正ルートの集まりである，ルートの基本系の定義を与える（Dynkin図については準備中）。

ルートの基本系

互いに線形独立で，任意のルートを，すべて負ではない，またはすべて正ではない$l(=\dim \frh)$個の係数$(a_1,...,a_l)$によって

の形に表すことができるルート$\alpha_i$の集合$\Pi=\{\alpha_1,...,\alpha_l \}$をルートの基本系（fundamental system）といい，その元を単純ルート（simple root）という。

正（負）ルートと順序

基本系$\Pi$を用いて展開したとき，すべての係数が負でないものを（$\Pi$に関する）正ルート，反対に，すべての係数が正でないものを負ルートという。

単純ルートは，(\ref{eq:alpha_linear})において係数のどれか1つだけが1で，それ以外はすべて0であるルートであるから正ルートである。

2つのルート$\alpha,\beta$の差が正ルートになるか負ルートになるかによって，ルートに順序を定める。 すなわち$\alpha-\beta>0$であれば，2つのルートの大小関係は$\alpha>\beta$である。

Cartan行列

ルートの基本系$\Pi=\{\alpha_1,...,\alpha_l \}$に対し，Cartan行列を

で定義する。 Killing形式が非退化であることから$\det (\alpha_i,\alpha_j)\neq 0$であり，この行列は正則である。

Dynkin図