ルート空間分解とCartan-Weyl基底

ここでは，Cartan部分代数とルートの性質を利用してLie代数を直和分解し，Lie代数の構造を調べるにあたって有用となる新たな基底を導入する。

ルート空間とルート空間分解

まず，『Cartan部分代数とルート』の内容を，数学的により形式的な形で記述しなすことでおさらいしよう。

ここで，新たな記号を導入し，0でないルートの集合を$\bigtriangleup$と記すこととする。 これは，$(\dim \frg- \dim \frh)$個の元からなる有限集合である。

$\ad(H)$は対角化可能であるから，各$\alpha \in \frh^*$に対し $\frg$の固有空間

が定まり，$\frg$を

と直和分解することができる。 このとき，$\frg_\alpha$をルート$\alpha$に対応するルート空間（root space）といい，(\ref{eq:root_decomp})を$\frg$のルート空間分解（root space decomposition）という。

$\frg_0$は

となる$X$すべての集合であるが，$\frh$自身がこうした集合で極大なもののことであるから，$\frg_0=\frh$である。

Cartan-Weyl基底

$E_\alpha \in \frg_\alpha$であったから，$\{H_\alpha, E_\alpha, E_{-\alpha}\}$によって，新たに$\frg$の基底を構成することができる。 また，$[E_\alpha,E_\beta]$は固有値$\alpha+\beta$に対応する固有値であったから，$\alpha+\beta$もルートであるなら，何らかの数$N_{\alpha,\beta}$を用いて

と表すことができる。 このとき

が同時に成り立つよう$E_\alpha$を選ぶことができる。

これまでの結果をまとめると，このようにして選んだ基底は次のような交換関係を満たす：

(\ref{eq:Nab-N-a-b})と合わせ，これらの関係を満たす基底を，Cartan-Weyl基底または標準基底（canonical basis）という。