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    剛体の転がり

    Dr. SSS 2019/05/30 - 08:36:04 9671 古典力学
    Source: GIFER
    はじめに

    剛体が坂を転がる例を考える。剛体は質点と違い大きさがあり，かつ形が変わらない物体のことを指す。 この場合，回転の自由度も持つため，位置エネルギーの変化が並進エネルギーだけでなく，回転のエネルギーにも持っていかれる。 よって，慣性モーメントが小さく，回転に費やすエネルギーが小く済む物体ほど速く坂を下り落ちる。 以下でこのことを数式を使って説明する。 ポイントは以下の通りだ：

    • 剛体は回転もできる。
    • 高さが下がると位置エネルギーが運動エネルギーに変換される。
    • 運動エネルギーは，並進のエネルギーと回転のエネルギーに分けられる。
    • 回転させやすい物体ほど，運動エネルギーを並進エネルギーにたくさん分配できる。


    keywords: 古典力学, 剛体, 慣性モーメント

    転がる速さ

    $xy$平面内の坂を滑らずに転がる丸い剛体の運動を考える。 剛体の場合，運動エネルギー$K$は，並進のエネルギー$MV^2/2$に加えて，回転のエネルギー$I\omega^2/2$が加わり

    \begin{align} K=\frac{1}{2}MV^2+ \frac{1}{2}I\omega^2 \end{align}

    となる。 ここで，$M$は全質量，$V$は重心の速度の大きさ，$I$は慣性モーメント，$\omega$は角速度（回転の速さ）である。 質量が物体の動かしにくさとみなせるのと同様に，慣性モーメントは物体の回転させにくさとみなせる。

    重力加速度を$g$，物体の高さを$y$とすれば，重力エネルギーは$Mgy$なので，全エネルギー$E$は

    \begin{align} \label {Eeq} \frac{1}{2}MV^2+ \frac{1}{2}I\omega^2 + Mgy=E \end{align}

    となる。滑らずに転がる条件は，物体の半径を$a$とすれば$V=a\omega$であり，この条件を全エネルギーの式(\ref{Eeq})に入れると

    \begin{align} \frac{1}{2} \left(M+ \frac{I}{a^2} \right) V^2 + Mgy=E \end{align}

    となる。この式を時間で微分すると

    \begin{align} \label {dEdt} \left(M+ \frac{I}{a^2} \right) V\frac{dV}{dt}= -Mg \frac{dy}{dt} \end{align}

    である。

    一方，$y$方向の速さは，斜面の角度を$\theta$とすれば

    \begin{align} \frac{dy}{dt}=-V\sin{\theta} \end{align}

    なので，これを(\ref{dEdt})に入れると

    \begin{align} \left(M+ \frac{I}{a^2} \right) \frac{dV}{dt}= Mg \sin{\theta} \end{align}

    となり，加速度が

    \begin{align} \label {acc} \frac{dV}{dt}=\frac{Mg \sin{\theta}}{\left(M+ \frac{I}{a^2} \right)} \end{align}

    と得られる。

    あるいは，初速度$0$で転がる系が，傾斜に沿って$s$下ったときの速さは，エネルギー保存則

    \begin{align} \frac{1}{2} \left(M+ \frac{I}{a^2} \right) V^2 = Mgs\sin{\theta} \end{align}

    より

    \begin{align} \label {Veq} V=\left( \frac{2 Mgs\sin{\theta} }{M+ I/a^2 }\right)^{1/2} \end{align}

    と求められる。



    (\ref{acc})あるいは(\ref{Veq})より，質量$M$と半径$a$が等しければ，慣性モーメント$I$が小さいほうが速く転がることがわかる。


    慣性モーメントの違い

    質量分布が一様なら，筒では$I=a^2M$，球殻（中身が殻の球）では$I=(2/3)a^2M$，円柱では$I=(1/2)a^2M$，球では$I=(2/5)Ma^2$となる。

    トップのgif画像の例は，立方体を除いて，同じ半径の筒，球殻，円柱，球が滑りなく転がっているもので，緑の球が球殻，赤いの球が詰まった球であると思われる。立方体の場合は回転していないので，(\ref{acc})あるいは(\ref{Veq})において$I=0$の場合を考えればいい。


    参考文献