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Einsteinの規約
Dr. SSS
2021/01/16 - 10:25:12
1411
線形代数とベクトル解析
はじめに
ここでは，Einsteinの規約と呼ばれる和の演算に関する記法について説明する。
keywords: Albert Einstein, テンソル, ベクトル解析
Einsteinの規約
同じ項の中に，同じ上付きの添字と下付きの添え字がある場合，和の記号がなくともその添え字について和を取るという規約を，Einsteinの規約（Einstein convention）という。 テンソルを扱う分野などでは特に，これにより，多大なリソースの倹約をすることができる。
例えば
\begin{align}
a^i b_i
\end{align}
は
\begin{align}
\sum_i a^i b_i
=
a^1 b_1 + a^2 b_2 + ...
\end{align}
を意味している。
添え字が複数ある
\begin{align}
A^{ij} B_{jk}
\end{align}
のような場合でも同様に
\begin{align}
\sum_j
A^{ij} B_{jk}
=
A^{i1} B_{1k}
+A^{i2} B_{2k}
\end{align}
という和の演算が含意される。
和を取る添え字は任意であるから，他の意味のある添え字と被らない限り好きな文字に入れ替えていい。 このことから，この添え字をダミー添え字（dummy index）という。